下面是小编为大家整理的专题14,函数零点问题(解析版),供大家参考。
专题 14
函数零点问题 专项突破一
函数零点的定义 1．函数 f（x）＝x 2 ﹣4x+4 的零点是（
）
A．（0，2）
B．（2，0）
C．2 D．4 【解析】由 f（x）＝x 2 ﹣4x+4＝0 得，x＝2， 所以函数 f（x）＝x 2 ﹣4x+4 的零点是 2，故选：C． 2．已知函数 21 , 01, 0x xf xx x ，则1( )2y f x 的所有零点之和为（
）
A．2 12 B． 122 C． 2
D． 0
【解析】
0 x 时，由21( 1) 02x 得212x ， 0 x 时，由11 02x 得12x 或32x ， 所以四个零点和为2 2 1 31 1 02 2 2 2 ．故选：D． 3．(多选)若函数 y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数 a可取值为(
) A．－2 B．0 C．12 D．－12 【解析】由题可知 ax－1≠0 或 ax－1＝0 的解为 x＝－2， 故 a＝0 或 a＝12 .故选：BD. 4．(多选)若函数( ) f x ax b 只有一个零点 2 ，那么函数2( ) g x bx ax = - 的零点是（ ）． A．12
B． 0
C．12 D． 1
【解析】由题意知 2 0 a b ，∴ 2 b a ， 0 a ， ∴2( ) 2 (2 1) g x ax ax ax x ，使 ( ) 0 g x ，则12x 或 0 x .故选：AB 5．函数 22 2, 1,2 log , 1xxf xx x 的零点为________． 【解析】当 1 x 时，令 2 2 0 x ，解得 1 x ； 当 1 x 时，令22 log 0 x ，解得14x (舍去)，所以函数 f x 存在零点，且零点为 1 . 6．若函数 2f x x ax b 的两个零点是 2 和 3，则不等式2 1 0 bx ax
的解集为________ ． 【解析】根据题意，2 3 52 3 6a ab b ，则不等式可化为
2 21 16 5 1 0 6 5 1 0 2 1 3 1 0 ,2 3x x x x x x x . 7．函数 2 1 1 y x x 的零点为______. 【解析】由 2 1 1 y x x 定义域为12 ，
由 2 1 1 0 x x ，即 2 1 1 x x ，可得24 0 x x
,解得 4 x 或 0 x
又 0 x 时，不满足方程 2 1 1 0 x x , 4 x 时满足条件.故答案为：
4 x
8．函数 22, 01 , 0x xf xlnx x 的零点之和为__________． 【解析】令22 0 x 得， 2 x ，只有 2 x 符合题意，即12 x
令 1 ln 0 x 得， xe ，所以函数( ) f x 的零点之和为2 e 专项突破二
零点存在定理判断零点所在区间 1．函数 e 2 6xf x x 的零点所在的区间是（
）
A． 3,4
B． 2,3
C． 1,2
D． 0,1
【解析】函数 ( ) e 2 6xf x x
是 R 上的连续增函数, 2(1) e 4 0, (2) e 2 0 f f ,可得 (1) (2) 0 f f , 所以函数( ) f x
的零点所在的区间是 (1,2) .故选：C 2．函数2( ) log 4 f x x x 的零点所在的区间为（
）
A． 0,2
B． 2,3
C． 3,4
D． 4,5
【解析】因为函数2log , 4 y x y x 在 0, 上都是增函数， 所以函数2( ) log 4 f x x x 在 0, 上是增函数， 又 22 1 2 4 1 0, 3 log 3 1 0 f f ， 所以函数2( ) log 4 f x x x 的零点所在的区间为 2,3 .故选：B. 3．方程12 3xx 的解所在的区间是（
）
A． 0,1
B． 1,2
C． 2,3
D． 3,4
【解析】设1( ) 2 3xf x x ，易知它是增函数， (1) 2 0 f ， (2) 1 0 f ， 由零点存在定理知( ) f x 在 (1,2) 上存在唯一零点．故选：B．
4．用二分法研究函数 5 38 1 f x x x 的零点时，第一次经过计算得 0 0 f ， 0.5 0 f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（
）
A． 0,0.5 ， 0.125 f
B． 0,0.5 ， 0.375 f
C． 0.5,1 ， 0.75 f
D． 0,0.5 ， 0.25 f
【解析】因为(0) (0.5) 0 f f ，由零点存在性知：零点 00,0.5 x ， 根据二分法，第二次应计算0 0.52f ，即 0.25 f ，故选：D. 5．函数( ) lg 4 f x x x 的零点为0x ，0( , 1) x k k ( ) kZ ，则 k 的值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】
lg 4 f x x x 是 0, 上的增函数， 又 3 lg3 1 0 4 lg4 0 f f ， ， 函数 lg 4 f x x x 的零点0x 所在区间为 3,4 ， 又 0, 1 , x k k k Z ， 3 k .故选：C. 6．已知函数 2 x f x x ， ln g x x x ， 0 h x x x x 的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x的大小关系是（
）． A．1 2 3x x x B．1 3 2x x x
C．3 2 1x x x D．1 2 3x x x 【解析】在同一坐标系中分别作出 yx ， 2 x y ，ln y x ， y x 的图象，如图所示．
由图可知，函数 2xf x x ， ln g x x x ， 0 h x x x x 的零点分别为1x ，2x ，3x ， 则10 x ， 20,1 x ，31 x ，所以1 2 3x x x ．故选:A 7．已知实数 b 满足 2 3b ，则函数 2 x f x x b 的零点所在的区间是（
）
A． 1,0
B． 0,1
C． 1,2
D． 2,3
【解析】由已知得2log 3 b ，所以 22 log 3xf x x ，
又 12 212 1 log 3 log 3 021 f ， 02 22 0 log 3 1 log 3 0 0 f ， 12 22 1 log 3 3 log 3 0 1 f , 22 22 2 log 3 6 log 3 0 2 f ， 32 22 3 log 3 11 log 3 0 3 f ，所以零点所在区间为 0,1 ，故选：B. 8．(多选)已知函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 y 0.2 1.3 0.9 0.5 1
下列区间中函数 y f x 一定有零点的是（
）
A． 0,2
B． 2,3
C． 3,4
D． 4,5
【解析】因为函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线， 且 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 f f f f ，函数在区间 1,2 和 3,4 上一定有零点.故选：AC. 9．(多选)函数2( ) 2 x f x ax 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的可能取值是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】因为函数22 x y yx 、 在定义域 0 x x 上单调递增， 所以函数 22 x f x ax 在 0 x x 上单调递增， 由函数 22 x f x ax 的一个零点在区间 1,2 内， 得 1 2 (2 2 )(4 1 ) 3 0 f f a a a a ，解得 0< <3 a ,故选：BC 10．(多选)下列函数中，在区间 1,3 上有零点是（
）
A． 24 f x x
B． 212xf x x C． 31log f x xx
D． 122f x xx
【解析】A 选项， 22 2 4 0,2 1,3 f ，A 选项符合. B 选项，当 2 21 11,3 , 1, 1, 02 2x xx x f x x ，B 选项错误.
C 选项， 31log f x xx 在区间 1,3 上单调递增， 21 1, 3 03f f ， 1 3 0 f f ，所以 f x 在区间 1,3 上有零点，C 选项符合. D 选项， 122f x xx 在区间 1,3 上单调递增， 21 1, 3 3 03f f ， 1 3 0 f f ，所以 f x 在区间 1,3 上有零点，D 选项符合. 故选：ACD 11．已知函数 22 6xf x x 的零点为0x ，不等式06 x x 的最小整数解为 k ，则 k __________． 【解析】
函数 2 2 6xf x x 为 R 上的增函数， 1 2 0 f ， 2 2 0 f ， 函数 2 2 6xf x x 的零点0x 满足01 2 x ，07 6 8 x ，06 x x 的最小整数解 8 k = ． 12．若方程23 2xx 的实根在区间 , m n 内，且 m 、 nZ ， 1 n m ，则 m n ____________ 【解析】方程23 2xx 的实根即函数3 x y 与22 y x 图象交点的横坐标， 作出函数 3xy 与22 y x 图象如图所示：
由图知方程23 2xx 只有一个负实根， 令 23 2xf x x ，则函数 23 2xf x x 只有一个负零点， 因为 222 3 2 2 0 f ， 121 3 1 2 0 f ， 2 1 0 f f ， m 、 Z n ， 1 n m ， 所以方程23 2xx 的实根在区间 2, 1 内，所以 2 m ， 1 n ， 3 m n ，
专项突破三
求函数零点个数
1．函数 ln 2 6 f x x x 的零点的个数为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由于函数 f x 在 0, 上是增函数，且 1 4 0, 3 ln3 0 f f ， 故函数在 1,3 上有唯一零点，也即在 0, 上有唯一零点.故选：B. 2．已知函数 21, 0,2log , 0.xxf xx x ＞则函数 12g x f x 的零点个数为（
）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解析】当 0 x 时， 1 1( ) 0, 12 2xg x x ，因为 0 x ，所以舍去； 当 0 x 时， 21|log | 0, 22g x x x 或22x ，满足 0 x .所以 2 x 或22x . 函数 12g x f x 的零点个数为 2 个.故选：C 3．已知函数 e , 02 , 0xxf xx x ，则方程 2 0 f f x 的根个数为（
）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【解析】令 2 0 y f f x ，即 2 f f x 根的个数， 设 f x t ，所以 2 f t ，即 0,e 2tt 或 0, 2 2 t t ，解得 ln2 t 或 1 t ， 即 ln2 f x 或 1 f x ，即 0,e ln2xx 或 0, 2 ln2 x x ，解得ln22x ； 或 0,e 1xx 或 0, 2 1 x x ，无符合题意的解. 综上所述：程 2 y f f x 的根个数为 1 个.故选：A. 4．已知函数( ) cos2 cos f x x x ，且 0,2π x ，则( ) f x 的零点个数为（
）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【解析】由 2cos2 cos 2cos cos 1 cos 1 2cos 1 0 x x x x x x 可得 cos1 x 或1cos2x ，又 0,2π x ，则 π x ，或π3x ，或5π3x
则( ) f x 的零点个数为 3,故选：C
5．已知函数 22 , 0lg , 0x x xf xx x ，则函数 1 1 g x f x 的零点个数为（
）. A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由 0 g x 可得 1 1 f x . 当 0 x 时，22 1 1 2 x x x ，或 1 2 x （舍去）， 当 0 x 时， lg 1 10 x x 或110x . 故 1 1 2 2 2 x x 是 g x 的零点， 1 10 9 x x 是 g x 的零点，1 9110 10x x 是 g x 的零点. 综上所述， g x 共有 3 个零点.故选：C 6．函数 ( )cos lg f x x x 零点的个数为（
）
A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】由 ( ) cos lg 0 f x x x ，得 cos lg x x ， 所以函数( ) f x 零点的个数等于 cos , lg y x y x 图象的交点的个数， 函数 cos , lg y x y x 的图象如图所示，
由图象可知两函数图象有 4 个交点，所以( ) f x 有 4 个零点，故选：A 7．函数2( ( ) 4 1)xf x x 的零点个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】令2( ) ) 0 ( 4 1xf x x ，可得21 ( ) 4 x x ， 则原命题即求 4 x y 与2( 1) y x 图象交点的个数，分别作出 4 x y 与2( 1) y x 图象，如下所示
由图象可得，交点为 A 、 B 、 C 三点，所以函数2( ( ) 4 1)xf x x 的零点个数为 3.故选：C 8．函数 e ln 1xf x x 的零点个数为（
）
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
【解析】
( ) e ln 1 0xf x x 1ln eexxx , 作出函数 exy 和 ln y x 的图象：
可由 exy 的图象先关于 y 对称，再关于 x 轴对称得 exy ，作出 ln y x 的图象，再作出它关于 y 轴对称的图象得 ln( ) y x 的图象，两者结合得 ln y x 的图象． 如图，函数 exy 和 ln y x 的图象它们有两个交点， 所以方程( ) 0 f x 有两个解，即( ) f x 有两个零点．故选：C．
9．已知函数 2 1, 22, 21xxf xxx ，则方程 1 f f x 的实数根的个数为（
）
A． 7
B． 5
C． 3
D． 2
【解析】令( ) f x t ，则( ) 1 f t， ①当 2 t„ 时，| |2 1 1t ，| |2 2t ，| | 1 t ，即 1 t ， ②当 2 t 时，211 t， 3 t ， 画出函数( ) f x 的图象，如图所示，
若 1 t ，即( ) 1 f x ，无解；
若 1 t ，直线1 y t 与 ( ) y f x 的图象有 3 个交点，即 1 f f x 有 3 个不同实根； 若 3 t ，直线3 y t 与( ) y f x 的图象有 2 个交点，即 1 f f x 有 2 个不同实根； 综上所述，方程[ ( )] 1 f f x 的实数根的个数为 5 个，故选：
B ． 10．函数 3 23 2 f x x x x 的零点个数为（
）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
【解析】令 2 h x x ， 3 23 g x x x ，则 f x 零点个数即为 g x 与 h x 图象的交点个数； 23 6 3 2 g x x x x x ，则当 ,0 2, x 时， 0 g x ；当 0,2 x 时， 0 g x ； g x 在 ,0 ， 2, 上单调递增，在 0,2 上单调递减， 又 0 0 g ， 2 4 g ，进而可得 g x 图象与 h x 图象如下图所示，
由图象可知：
g x 与 h x 共有 5 个交点，即 f x 有 5 个零点.故选：D. 11．已知函数 1, 1ln 1 , 1x xf xx x ，则函数 2 g x f f x 的零点个数为（
）
A．3 B．4 C．2 D．1 【解析】令( ) f x ，令( ) 0 g x ，则( ) 2 0 f , 当1 时，则 ( ) ln( 1) f ，所以 ln(1) 2 0
，2e 1 ， 当1 „时，( ) 1 2 0 f ，则1 ， 作出函数( ) f x 的图象如下图所示，
直线1 与函数 ( ) f x 的图象只有 1 个交点， 线2e 1 ，与函数 ( ) f x 的图象只有 2 个交点，
因此，函数 ( )g x 只有 3 个零点，故选：
A ． 12．已知函数, 0( ), 0xlnx xf xe x „，则2 ( )( ) 2 f x f x 实数根的个数为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】做出( ) f x 图像如下：
2 ( )( ) 2 f x f x 2 ( )( ) 2=0 f x f x ( ) 1 ( ) 2 =0 f x f x ( ) 1 f x 或 ( ) 2 f x ， ①若( ) 1 f x 时， ⑴当 0 ( )= =1 x f x lnx ， ，x e 或1 xe，符合题意； ⑵当 0 ( )= =1xx f x e ， ， 0 x ，符合题意； ②若( ) 2 f x , ( ) 0 f x ( ) 2 f x
综上：2 ( )( ) 2 f x f x 共有 3 个实数根．故选：B． 13．已知函数 2π1 sin6y x x 在 5,5 内零点的个数为（
）
A．4 B．5 C．3 D．2 【解析】因为21 1 x ，所以令 2π1 sin 06y x x 等价于πsin 06x ， 即6x k ， k Z .又因为 5,5 x ，所以7 5, ,6 6 6x . 所以函数 2π1 sin6y x x 在 5,5 内零点的个数为 3 个.故选：C 14．(多选)函数 4 2 2122 log 2 f x x x m m （ m 为常数）的零点个数可能为（
）
A． 2
B． 4
C． 5
D． 6
【解析】因为 222 1 1 1 m m m ，所以 212log 2 0 m m ． 令2t x ，则 0, t ，2222 ,0 222 , 2t t ty t tt t t ，如下图所示：
①当 212log 2 0 m m 时，由22 0 t t 可得 10 t ， 22 t ， 方程20 x 只有一解，方...
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