下面是小编为大家整理的专题2.13导数-零点问题（原卷版）【完整版】,供大家参考。
专题 2.13
导数-零点问题
1．求解有关函数零点问题的常用方法与策略 （ （1：
）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （ （2：
）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从 f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （ （3 ）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围． （ （4 ）构造新函数法）
（数形结合）
：将问题转化为研究两函数图象的交点问题，先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 2．确定零点的个数问题 可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； 3．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题 可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； 4．利用导数硏究函数零点或方程根 通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究．
1．已知函数 f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R． （1）若 k＝0，求曲线 y＝f(x)在 x＝0 处切线的方程； （2）讨论函数 f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．
2．已知函数 e cosxf x x x
（1）求( ) f x 在 ,2 上的极值； （2）判断函数 g x f x x 在,2 上的零点个数．
3．已知函数 ln2 2 f x x ax ． （1）讨论 f x 的单调性 （2）若函数 12 e ax g x f x x 有且只有1 2, x x 两个零点，证明：1 22x xa ．
4．设函数 2ln 1 f x x m x m R ． （1）若 1 m ， ①求曲线 f x 在点 0, 0 f 处的切线方程； ②当 1, x 时，求证：
3f x x ． （2）若函数 f x 在区间 0,1 上存在唯一零点，求实数 m 的取值范围．
5．已知函数 sin cos f x x x x ． （1）证明：当 0, x 时， 0 f x ； （2）记函数 g x f x x ，判断 g x 在区间 2 ,2 上零点的个数．
6．已知函数( ) ln 2 f x ax x x ． （1）若( ) f x 在1 x 处取得极值，求( ) f x 的单调区间； （2）若函数2( )( ) 2 f xh x xx有 1 个零点，求 a 的取值范围．
7．已知函数 21 exf x x ax a R ． （1）讨论函数 exg x f x 的单调性；
（2）当 1 a 时，函数 f x 有几个零点？
8．已知函数( ) ln sin f x a x x ， 0 a ． （1）
1 a 时，求曲线( ) y f x 在π2x 处的切线方程； （2）
1 a 时，求不等式( ) sin1 0 f x 在区间 (0,π) 上的解集； （3）是否存在 a ，使得( ) f x 在 (0,π) 内有两个零点．若存在，求出 a 的一个取值；若不存在，说明理由．
9．已知函数 2ln 2 f x a x x a x a R ． （1）当 0 a 时，讨论 f x 的单调性； （2）若函数 f x 在 1,e （ e 为自然对数的底数）上有零点，求实数 a 的取值范围．
10．处于信息化时代的现代社会，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”是数学中的正弦型函数．已知某一类型信号的波形可以用 sinx 和 sin AxA NA 进行叠加生成，即生成的波形对应函数解析式为sin( ) sinAxf x xA ． （1）若 3 A ，讨论( ) f x在 (0, )上的单调性，并判断其极值点的个数（提示：3cos3 3cos 4cos x x x ）； （2）若 2 A ，令 ( )xg x e ，函数 ( ) ( ) ( ) h x f x g x ，写出函数 ( ) h x 的导函数 ( ) h x在 (0, )上的零点个数，并说明理由
11．已知函数 2ln 2 f x a x x a x a R
（1）当 0 a 时，讨论 f x 的单调性； （2）若函数 f x 在1,ee （ e 为自然对数的底数)上有零点，求实数 a 的取值范围．
12．已知函数2( ) sin 1, f x x a x a R ． （1）设函数 ( )( ) g x f x ，若( ) y g x 是区间 0,2 上的增函数，求 a 的取值范围； （2）当 2 a 时，证明函数( ) f x 在区间 (0, ) 上有且仅有一个零点．
13．已知函数 1ln f x x ax a Rx ． （1）当 3 a 时，证明：
sin 3 f x x ； （2）若 f x 的两个零点分别为 1 2 1 2, x x x x ，证明：21 22e x x ．
14．函数 e 2xf x ax a ． （1）讨论函数的极值； （2）当 0 a 时，求函数 f x 的零点个数．
15．已知函数( ) ln f x x x ． （1）讨论函数( ) ( ) ( 2) g x f x a x 的单调性； （2）若 ( )mf xx 有两个不等实根 1 2 1 2, x x x x ，证明：3221 2e x x．
16．已知函数2( ) 2ln ( )af x x ax R 有两个零点． （1）求 a 的取值范围． （2）记两个零点分别为 x 1 ，x 2 ，证明：1 21 x x ．
17．已知函数 ln xf xx ． （1）求曲线 y f x 在点1 1,e ef 处的切线方程； （2）设 g x f x k 有两个不同的零点 12, x x ，求证：21 2e x x ．
18．已知 2, 13, 1x x xf xx x ， ln g x x a ． （1）存在0x 满足：
0 0f x g x ， 0 0f x g x ，求 a 的值； （2）当 4 a 时，讨论 h x f x g x 的零点个数．
19．已知函数 ln f x x ． （1）当 sin 1 g x x ，求函数 T x f x g x 在 0,1 的单调性； （2）
12h x f x bx 有两个零点1x ，2x ，且1 2x x ，求证：1 21 x x ．
20．已知函数( ) 1e xaxf xa ， 0 a ． （1）当 1 a 时， ①求曲线( ) y f x 在 0 x 处的切线方程； ②求证：( ) f x 在 (0, ) 上有唯一极大值点； （2）若( ) f x 没有零点，求 a 的取值范围．
21．已知函数 2e 1 ,e 2.718xf x m x m R ． （1）选择下列两个条件之一：①12m ；② 1 m ，判断 f x 在区间 0, 上是否存在极小值点，并说明理由； （2）已知 0 m ，设函数 1 ln g x f x mx mx ．若 g x 在区间 0, 上存在零点，求实数 m 的取值范围．
22．已知 a 为实数，函数 2ln f x x ax x
（1）当 1 a 时，求曲线 y f x 在点（1，f（1））处的切线的方程：
（2）当 0 a 时，求函数 f（x）的极小值点； （3）当 1 2 a 时，试判断函数 f（x）的零点个数，并说明理由．
23．已知函数 ln 2 f x a x x ． （1）若 2 a ，求曲线 y f x 在 1 x 处的切线方程； （2）若函数 f x 在 0,16 上有两个零点，求 a 的取值范围．
24．已知函数 3 22 3 6 6 ln f x x ax x a x a R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围．
25．已知函数 3e xaxf x ，其中 a R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 20 g x f x x x 有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围．
