专题1.13导数-零点问题（原卷版）

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　专题 1.13

　 导数-零点问题

　1．高考对本部分的考查一般有三个层次：

　（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 3．利用导数解决函数零点问题的方法：

　（1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； （2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题； （3）分离参变量，即由 ( ) 0 f x  分离参变量，得( ) a x  ，研究直线 ya 与 ( ) y x  的图象的交点问题．

　1．已知函数  2 21 1ln2 4f x x ax x x     ， a R  ． （1）讨论函数   f x 的单调性； （2）若函数   f x 在   1,4 上恰有两个零点，求实数 a 的取值范围．

　 2．已知函数   ln f x x x   ． （1）求证：

　  1 f x  ； （2）若函数      xxh x af x ae  R 无零点，求 a 的取值范围．

　3．已知函数    21 ln 0 f x x a x a     ． （1）当 1 a 时，求   f x 的单调区间； （2）讨论   f x 零点的个数．

　4．已知函数     e 2 0xf x a x a    ． （1）若e a ，讨论   f x 的单调性； （2）若1x ，2x 是函数   f x 的两个不同的零点，证明：1 21 2ln ln2 x x a    ．

　5．已知函数 f(x)＝lnx＋122x ＋ax(a∈R)，g(x)＝ e x ＋322x ． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）如果函数 F(x)＝f(x)－g(x)存在零点，求实数 a 的最小值．

　6．已知函数 f(x)＝x－alnx （1）求函数 f(x)的极值点； （2）若方程   f x k  有 2 个不等的实根1 2, x x ，证明：1 22 x x a  ．

　7．已知函数  lncos2xf x x   ，     sin g x f x x    ． （1）求   g x 在点 ( ) ( )1, 1 g处的切线方程； （2）求证：当   , x    时，   f x 有且仅有 1 个零点．

　8．已知函数  ln 2 f x x x   ，  22 2 g x x x   ，       h x f x g x   ． （1）求函数   h x 的极值； （2）若 0 m ，研究方程     mf x g x  的根的个数，

　9．已知函数     ln f xx mx m R    ． （1）讨论函数   f x 的单调性； （2）若函数   f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，证明：

　 1 22 m x x   ．

　10．已知函数   lnaf x x bx   （其中 a ， b 为参数）． （1）求函数   f x 的单调区间； （2）若 1 a ，函数     exg x f x 有且仅有 2 个零点，求 b 的取值范围．

　11．已知函数  1ln 1 f x t xx   ． （1）若 1 t  ，求证：

　 0 f x 恒成立； （2）当 1 t  时，求   f x 零点的个数．

　12．已知函数 ( ) e ,xf x x a a   R ． （1）当 0 x  时，讨论函数( ) f x 的单调性； （2）若方程( ) 0 f x 有两个不相等的实数根  1 2 1 2, x x x x  ，证明：1 22 x x  ．

　13．已知函数  ln f x x x   ． （1）求证：

　  1 f x  ； （2）若函数       0e xxg x af x a    有两个零点，求 a 的取值范围．

　14．已知函数  ln e 1xf x ax x    ． （1）若   f x 在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）当 0 a  时，若   f x 存在唯一零点1x ，极值点为2x ，证明：2 12x x ．

　15．已知函数    1ln f x a x ax  R ． （1）讨论函数   f x 的单调性； （2）当 1 a 时，若函数    11 f x mx mx   R 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：

　122x xm  ．

　16．已知函数     ln1 f x x ax a    R ． （1）讨论函数   f x 的单调性； （2）若函数   f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围；（注：要求取点，利用函数零点存在定理进行求解）

　（3）在第（2）的条件下，设   f x 的两个零点1x ，2x 且2 12 x x ，求证：2 31 25256ex x   ．

　17．已知函数     e 20xf x ax a    ，     F x f x   且   0 1 F  ． （1）若 0 x  时，不等式   1 F x x   恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 1 a 时，求函数     cos g x f x x   在,2     上的零点个数．

　18．已知   0,1 x 时，函数  e 2xf x x   的图象恒在直线 1 0 x y    的上方． （1）求证：当   0,1 x 时．3ln e x x x x   ； （2）求函数     cos g x f x x   在,2     上的零点个数．

　19．已知函数  lncos2xf x x   ．求证：

　（1）

　 22 1 2 xf x x    ； （2）当   0,π x 时，   f x 有且仅有 2 个零点．

　20．已知函数( ) ln 2sin f x x x x   ． （1）证明：( ) f x 在区间π0,2   存在唯一的极值点；

　（2）试讨论( ) f x 的零点个数．

　21．已知函数 ( ) e sinxf x ax x bx c     的图象与 x 轴相切于原点． （1）求 b ， c 的值； （2）若( ) f x 在 (0, ) 上有唯一零点，求实数 a 的取值范围．

　22．已知函数  ln1xf x ax    ，（其中 a 为非零实数）

　（1）讨论   f x 的单调性：

　（2）若函数     e x g x f x   （e 为自然对数的底数）有两个零点1 2, x x ，求证： 1 221 2ex xx x  ．

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