有理数加减法（提高）知识讲解

下面是小编为大家整理的有理数加减法（提高）知识讲解,供大家参考。

　有理数的加减法 （ 提高 ）

　责编：康红梅

　【学习目标】

　1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；

　2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简

　算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】

　要点一、 有理数的加法

　1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得 0； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：

　(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律：

　有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、 有理数的减法

　1.定义：

　已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．

　：

　要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．

　（2）

　几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：

　( ) a b a b     ． 要点诠释：

　将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的 相反数”．如：

　要点三、 有理数 加减混合运算

　将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

　【典型例题】

　类型一、有理数的加法运算

　1．计算：（1）2 135 8           

　（2）1 3( 6 ) ( 2 )3 4  

　（3）21.125 35    

　（4）20 ( 5 )3 

　 （5）13 ( 3.5)2  

　【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条． 【答案与解析】

　（1）2 1 2 1 213 (3 ) 35 8 5 8 40                ； （2）1 3 1 3 13 1( 6 ) ( 2 ) (6 2 ) 8 93 4 3 4 12 12        

　（3）21.125 3 1.125 ( 3.4) (3.4 1.125) 2.2755             （4）2 20 ( 5 ) 53 3   

　（5）13 ( 3.5) 3.5 3.5 02      

　【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 举一反三：

　【高清课堂：有理数的加减法

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　有理数的加法例 2 2】

　【式 变式 1】计算：(1) -721+1061;

　 (2) (-21)+(-7.3);

　 (3) 141+(-231);

　 (4) 751+(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式=1 1 1 1 2(10 7 ) (9 7) (1 ) 26 2 6 2 3      ； （2）原式= (0.5 7.3) 7.8     ；（3）原式=1 1 1(2 1 ) 13 4 12   ； （4）原式= 7.2 7.2 3.80 3.8 3.8      【式 变式 2】计算：1 1 51 12 3 6       【答案】1 1 5 1 1 5 1 1 51 1 1 1 ( 1 1) 12 3 6 2 3 6 2 3 6                                        

　【式 变式 3】计算：

　1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4                           ． 【答案】解法一：

　1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4                            1 1( 6) ( 3) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 3.3) ( 6) ( 16) 64 4                                        →同号的数一起先加 ( 23.55) ( 31.55) 8       ． 解法二：1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4                            1 1( 6) 6 [( 3.3) ( 3) ( 0.3)] [( 6) ( 6)] [( 16) ( 8)]4 4                                   →同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加 0 0 0 ( 8) 8        ． 类型二、有理数的减法运算

　2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)4 137 3    ． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算． 【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．

　(1)2-(-3)＝2+3＝5

　 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式=4 1 1 4 16( 3 ) (3 ) 27 3 3 7 21      

　【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算. 类型三、有理数的加减混合运算

　3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72； （2）11-12+13-15+16-18+17； （3）1 1 13.76 39 5 68 4.76 2 13 6 2     

　（4）5 1 1 33.46 4 3.87 2 1.54 3.376 3 4 4      

　（5）1 3 5 53 5 4 62 4 6 18    ；

　（6）1 32.25 3 2 1.8758 4  

　【答案与解析】

　（1）观察各个加数，可以发现-3.72 与 3.72 互为相反数，把它们分为一组； 4.18、-2.93 与-1.25 的和为 0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23

　（2）把正数和负数分别分为一组． 解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12 （3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是 29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组． 解：1 1 13.76 39 5 68 4.76 2 13 6 2     

　1 1 1(3.76 4.76) ( 5 2 1 ) ( 39 68)3 6 2         1 ( 6) 29 22      

　（4）3.46 和 1.54 的和为整数,把它们分为一组；-3.87 与 3.37 的和为-0.5，把它们分为一组；546与13

　易于通分，把它们分为一组；124 与34同分母，把它们分为一组． 解：5 1 1 33.46 4 3.87 2 1.54 3.376 3 4 4      

　 5 1 1 3(3.46 1.54) ( 3.87 3.37) (4 ) ( 2 )6 3 4 4         

　1 15 ( 0.5) 4 ( 1 ) 4.5 3 7.52 2        

　（5）先把整数分离后再分组． 解：1 3 5 53 5 4 62 4 6 18   

　1 3 5 53 5 4 62 4 6 18        

　1 3 5 5( 3 5 4 6) ( )2 4 6 18         

　18 27 30 10036    

　2936

　注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 1 13 32 2    ． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组． 解：1 32.25 3 2 1.8758 4  

　(2.25 2.75) (3.125 1.875)    

　0.5 5 4.5   

　【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换. 举一反三：

　【 变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]． 【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19． 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用

　【高清课堂：有理 数的加减法

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　有理数加减的应用】

　4．（2014 秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国 古代数学史上经常研究这一神话． （1）现有 1，2，3，4，5，6，7，8，9 共九个数字，请将它们分别填入图 1 的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于 15； （2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将 3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1 这九个数字分别填入图 2 的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．

　【答案与解析】

　解：（1）15÷3=5， ∴最中间的数是 5，其它空格填写如图 1；

　（2）如图 2 所示．

　【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 举一反三：

　【 变式】某产粮专业户出售粮食 8 袋，每袋重量(单位：千克)如下：

　197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】法一：以 200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6 200×8+(-6)＝1594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克．

　法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克．

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